Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半径等于3．

【解析】（1）连接OD，利用切线的性质和已知可证得OD∥BE，进而可得∠ADO=∠E，再由OA=OD，可得∠OAD=∠ADO，则∠OAD=∠E，根据等腰三角形的判定可证得；
（2）由OD∥BE，可得∠POD=∠B，可得cos∠POD=，在Rt△POD中，cos∠POD=，进而可求出OA的长，即可得半径的长.