题目内容
【题目】如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，点E在线段AD上，把△ABE沿直线BE翻折，点A落在点A′，EA′的延长线交BC于点F，
（1）如图（1），求证：FE=FB；
（2）当点E在边AD上移动时，点A′的位置也随之变化，
①当点A′恰好落在线段BD上时，如图（2），求AE的长；
②在运动变化过程中，设AE=x，CF=y，求y与x的函数关系式，试判断EF能否平分矩形ABCD的面积？若能，求出x的值；若不能，则说明理由；
（3）当点E在边AD上运动时，点D与点A′之间的距离也随之变化，请直接写出点D与点A′之间距离的变化范围．
【答案】（1）证明见解析（2）①3；②不存在EF平分矩形ABCD的面积；（3）4≤A′D≤8
【解析】
试题分析：（1）证明∠AEB=∠A′EB，∠AEB=∠EBF，得到∠A′EB=∠EBF，证明结论；
（2）①根据相似三角形的判定证明△DA′E∽△DAB，得到成比例线段，代入已知的值，求出AE的长；
②根据勾股定理，得到y与x的关系式；假设EF能平分矩形ABCD的面积，进行计算，然后判断即可；
（3）根据当A′在BD上时，A′D最小，当E与A重合时，A′D最大，确定点D与点A′之间距离的变化范围．
（1）证明：∵△A′BE由△ABE翻折而得∴∠AEB=∠A′EB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠A′EB=∠EBF，
∴FE=FB．
（2）解：①由（1）得：∠EA′D=90°，A′E=AE，
设AE=x，则A′E=x，ED=8﹣x，
在△DA′E与△DAB中，
∠A′DE=∠ADB，∠DA′E=∠A=90°，
∴△DA′E∽△DAB，
∴
=
，
在R t△ABD中，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∴
=
，
解得，x=3，
∴AE=3．
②在Rt△A′BF中，BF=8﹣y，
则A′F=8﹣y﹣x，又A′B=6，
由勾股定理得：62+（8﹣y﹣x）2=（8﹣y）2，
即y=8﹣
﹣
．
当EF能平分矩形ABCD的面积时，y=x，
则x=8﹣﹣，
整理得：3x2﹣16x+36=0，
∵﹣162﹣4×3×36＜0，
∴方程无解，
∴不存在EF平分矩形ABCD的面积．
（3）解：由题意得，当A′在BD上时，A′D最小，
由①得，A′E=AE=3，DE=8﹣3=5，
由勾股定理，A′D=4，
即A′D最小值为4，
当E与A重合时，A′D最大为8，
∴4≤A′D≤8．
