Question

已知：△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．如图（1），易证AD=CE且AD⊥CE．
（1）将△DBE绕点B顺时针旋转至图（2）的位置时，线段AD和CE有怎样的关系？
（2）将△DBE绕点B逆时针旋转至图（3）的位置时，线段AD和CE又有怎样的关系？
请直接写出你的猜想，并选择其一加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠BCE，延长AD交CE于F，然后求出∠BAD+∠BEC=90°，再求出∠AFE=90°，从而判断出AD⊥CE；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，再求出∠ABD=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠BCE，设AD、CE交点为F，然后求出∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°，再求出∠AFC=90°，从而判断出AD⊥CE．

解答：解：（1）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABC=∠DBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
延长AD交CE于F，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠BEC=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE；

（2）AD=CE且AD⊥CE．
理由如下：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，
设AD、CE交点为F，
则∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠AFC=180°-90°=90°，
∴AD⊥CE．

点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，此类题目，往往利用统一思路根据相同的条件求解，本题确定出三角形全等的条件是解题的关键．