Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM．当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），连接DM，可得结论：DC=

2

CM．将△ADE绕点A逆时针旋转，当点D在AC上（如图二）或当点E在BA的延长线上（如图三）时，请你猜想DC与CM有怎样的数量关系，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

分析：（1）延长DM交BC于N，根据平行线的性质和判定推出∠DEM=∠MBC，根据ASA推出△EMD≌△BMN，证出BN=AD即可；
（2）作CN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，根据平行线的性质求出∠E=∠NBM，根据ASA证△DCA≌△NCB，推出△DCN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出△CMD为等腰直角三角形．

解答：解：（1）DC=

2

CM
如图二，连接DM并延长DM交BC于N，
∵∠EDA=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠MBC，
∵在△EMD和△BMN中，

∠DEM=∠NBM EM=BM ∠EMD=∠NMB

，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD
∵BA=BC，
∴CD=CN，
∴△DCN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，
∴BM⊥DM，∠DBM=

1

2

∠DBN=45°=∠BDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DC=

2

CM；
（2）DC=

2

CM，
理由：如图三，连接DM，作CN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，
∴∠E=∠MBN=45°．
∵点M是BE的中点，
∴EM=BM．
∵在△EMD和△BMN中，

∠E=∠MBN EM=BM ∠DME=∠NMB

∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴BN=DE=DA，MN=MD，
∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠DAB=∠NBC=90°
∵在△DCA和△NCB中

DA=BN ∠DAC=∠NBC CA=BC

，
∴△DCA≌△NCB（SAS），
∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，
∴CM⊥DM，∠DCM=

1

2

∠DCN=45°=∠CDM，
∴△CMD为等腰直角三角形．
∴DC=

2

CM．

点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，类比思想的运用，题型较好，难度较大．