题目内容

如图：有一张形状为梯形的纸片ABCD，上底AD长为4 cm，下底BC长为8 cm，高为8cm，点M是腰AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交DC于点N，设MN=xcm．
（1）若梯形AMND的高为h₁，梯形MBCN的高为h₂．则 $数学公式$ =______；（用含x的式子表示）
（2）将梯形AMND沿MN折叠，点A落在平面MBCN内的点记为E，点D落在平面MBCN内的点记为F，梯形EFNM与梯形BCNM的重叠面积为S，
①求S与x的关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，重叠部分的面积S最大，最大值是多少？

解：（1） $\text{[math]}$ ．
（2）①（ⅰ）当4＜MN≤6时，折叠后如图所示：
由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴8h₁-xh₁=8x-32-xh₁+4h₁，
解得h₁=2x-8，
所以S= $\text{[math]}$ （4+x）（2x-8），
即S=x²-16．（

（ⅱ）当6＜MN＜8时，折叠后如图所示：
由（1）得AG=h₁=2x-8，GH=h₂=16-2x，EH=h₁-h₂=4x-24．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$
同理可求： $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ ．
此时重叠面积S= $\text{[math]}$ ．．
综合（ⅰ）（ⅱ）得：
S=x²-16．

0＜x≤6
S=-3x₂+32x-64．
6＜x＜8
②对于函数S=x²-16.0＜x≤6当x=6时，S最大值=20．
对于函数S=-3x²+32x-64.6＜x＜8
当x＞ $\text{[math]}$ 时，S随x的增大而减小，当x=6时，S=20．
综上得当x=6时，S最大值=20．
分析：（1）平移梯形的一腰构成三角形后运用相似三角形的性质可得关系式；
（2）①因为M的移动性，重叠部分分为两种情形：上面部分不超过下部分梯形；超过下面梯形．所以分类讨论．
②根据函数性质，结合自变量的取值范围，分别求出两种情形下的最大值，比较后得结论．
点评：此题综合性较强，难度较大．涉及几何动态问题、分类讨论等难点，须有较强的综合分析问题的能力和严谨的思维习惯．