题目内容

如图:有一张形状为梯形的纸片ABCD,上底AD长为4 cm,下底BC长为8 cm,高为8cm,点M是腰AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交DC于点N,设MN=xcm.
(1)若梯形AMND的高为h1,梯形MBCN的高为h2.则
h1h2
=
 
;(用含x的式子表示)
(2)将梯形AMND沿MN折叠,点A落在平面MBCN内的点记为E,点D落在平面MBCN内的点记为F,梯形EF精英家教网NM与梯形BCNM的重叠面积为S,
①求S与x的关系式,并写出x的取值范围;
②当x为何值时,重叠部分的面积S最大,最大值是多少?
分析:(1)平移梯形的一腰构成三角形后运用相似三角形的性质可得关系式;
(2)①因为M的移动性,重叠部分分为两种情形:上面部分不超过下部分梯形;超过下面梯形.所以分类讨论.
②根据函数性质,结合自变量的取值范围,分别求出两种情形下的最大值,比较后得结论.
解答:解:(1)
x-4
8-x
.(4分).

(2)①(ⅰ)当4<MN≤6时,折叠后如图所示:
由(1)得
h1
h2
=
h1
8-h1
=
x-4
8-x

∴8h1-xh1=8x-32-xh1+4h1
解得h1=2x-8,
所以S=
1
2
(4+x)(2x-8),
即S=x2-16.(精英家教网6分).
(ⅱ)当6<MN<8时,折叠后如图所示:
由(1)得AG=h1=2x-8,GH=h2=16-2x,EH=h1-h2=4x-24.
OQ
MN
=
EH
GE
OQ
x
=
4x-24
2x-8
所以OQ=
2x2-12x
x-4

同理可求:OP=
32-4x
x-4
所以PQ=
2x2-12x+32-4x
x-4
=
2(x2-8x+16)
x-4
=2(x-4)

此时重叠面积S=
1
2
•(2x-8+x)•(16-2x)=-3x2+32x-64
.(10分).
综合(ⅰ)(ⅱ)得:
S=x2-16.精英家教网
0<x≤6
S=-3x2+32x-64.
6<x<8
②对于函数S=x2-16.0<x≤6当x=6时,S最大值=20.
对于函数S=-3x2+32x-64.6<x<8
当x>-
32
2×(-3)
=
16
3
时,S随x的增大而减小,当x=6时,S=20.
综上得当x=6时,S最大值=20.(12分)
点评:此题综合性较强,难度较大.涉及几何动态问题、分类讨论等难点,须有较强的综合分析问题的能力和严谨的思维习惯.
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