Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B．C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①探究BD与CF之间的位置关系，并说明理由；
②当AB= ，AD= +1时，求线段DH的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图2中，BD=CF成立．

理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF

（2）

①证明：如图3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，

∴∠HFN=∠ADN，

∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°

∴∠HFN+∠HNF=90°

∴∠NHF=90°，

∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．

∵四边形ADEF是正方形，

∴∠MDA=45°，

∵∠MAD=45°

∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，

∴AM=DM，

∵AD= +1，

在△MAD中，AM2+DM2=AD2，

∴AM=DM= ，

∴MB=AM﹣AB= ﹣ = ，

在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，

∴BD= =2．

在Rt△ADF中，AD= +1，

∴DF= AD= + ，

由②知，HD⊥HF，

∴∠DHF=∠DMB=90°，

∵∠BDM=∠FDH，

∴△BDM∽△FDH，

∴ ，

∴DH= = =2+

【解析】（1）结论：BD=CF．只要证明△ABD≌△ACF即可．（2）①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°，即可解决问题．②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．在Rt△ADM中，求出BM、DM，再利用勾股定理即可解决问题．
【考点精析】掌握勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．