Question

如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，…，依此类推．
（1）填写下表：

层数	1	2	3	4	…
该层对应的点数	1	6	12	18	…
所有层的总点数	1	________	________	________	…

（2）写出第n层所对应的点数（n≥2）；
（3）写出n层的正六边形点阵的总点数（n≥2）；
（4）如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？

Answer 1

解：（1）如表：

（2）第一层上的点数为1；
第二层上的点数为6=1×6；
第三层上的点数为6+6=2×6；
第四层上的点数为6+6+6=3×6；
…；
第n层上的点数为（n-1）×6=6n-6．

（3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6，
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]，
=1+6×，
=1+3n（n-1）．
第n层六边形的点阵的总点数为：1+3n（n-1）=3n²-3n+1．

（4）令3n²-3n+1=331
解得：n=-10（舍去）或n=11
答：共有11层．
分析：（1）观察点阵可以写出答案；
（2）观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点；
（3）将每一层的点数相加后即可得到答案．
（4）将331代入后解方程即可．
点评：本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．