Question

【题目】阅读下面材料，并解决有关问题

我们知道：

|a|＝

现在我们可以用这一结论来化解含有绝对值的代数式

如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|和|x﹣2|的零点值）

在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下三种情况：

（1）x＜﹣1（2）﹣1≤x＜2（3）x≥2

从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|，可分以下三种情况

（1）x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1

（2）﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3

（3）x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1

通过以上阅读，请你解决以下问题

（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝6；当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；（2）2．

【解析】

（1）分为x＜﹣2、﹣2≤x＜4、x≥4三种情况化简即可；

（2）分x＜﹣1、﹣1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．

解：（1）当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2；

当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6；

当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2；

（2）当x＜﹣1时，原式＝3x+5＜2，

当﹣1≤x≤1时，原式＝﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，

当x＞1时，原式＝﹣3x﹣5＜﹣8，

则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2．