题目内容
小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
分析：（1）设灯泡的位置为点P，易得△PAD∽△PA′D′，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和；
（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．
（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和；
（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．
解答：
解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
=
，
∴
=
，
解得x=180．（4分）
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴
=
，
解得y=12cm；（3分）
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
=
（1分）
（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x-a，AD=na，A′D′=na+b，
∴
=
=1-
=1-
x=
（1分）．
解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
| AD |
| A′D′ |
| PN |
| PM |
∴
| 30 |
| 36 |
| x-30 |
| x |
解得x=180．（4分）
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴
| 60 |
| 60+y |
| 150 |
| 180 |
解得y=12cm；（3分）
（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
| AD |
| A′D′ |
| PN |
| PM |
（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x-a，AD=na，A′D′=na+b，
∴
| na |
| na+b |
| x-a |
| x |
| a |
| x |
| a |
| x |
| na |
| na+b |
x=
| na2+ab |
| b |
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．
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