题目内容
小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以下尝试.
(1)如图①,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为 .
(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,请计算此时横向影子A′B,D′C的长度和为多少?
(3)有n个边长为a的正方形按图③摆放,测得横向影子A′B,D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)
(1)180cm (2)12 cm (3)
【解析】
试题分析:(1)由题意得A′B=D′C,BM=CM=15;正方形框架ABCD,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=CD;所以(SAS),
;正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm,
,在直角三角形
,
;而在直角三角形
中
,所以
,解得h=180cm
(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,h=180cm;BM=CM=30cm,AB=CD=30cm;由(1)的证明可得(SAS),
,在直角三角形
,
;而在直角三角形
中
,所以
,解得x=6,所以横向影子A′B,D′C的长度和=2x=12cm
(3)记灯泡为点P,
∵AD∥A′D′,∴∠PAD=∠PA′D′,∠PDA=∠P D′A′.
∴△PAD∽△PA′D′.
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质,可得
设灯泡离地面距离为由题意,得 PM=
,PN=
AD=
,A′D′=
,
∴
∴
∴
所以x=
考点:全等三角形,三角函数,正方形
点评:本题考查全等三角形,三角函数,正方形,掌握三角形全等的判定方法,熟悉三角函数的定义,掌握正方形的性质是解本题的关键,本题虽是最后一题,但难度不算大
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