Question

两块大小不等的等腰直角三角板如图①所示拼在一起，图②是由它抽象出来的几何图形，点A、C、E在同一直线上，连接AB、BE．
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得出现未标识的字母）；
（2）求证：AD⊥BE．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质推出∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，根据SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等推出∠DAC=∠EBC，求出∠DAC+∠ADC=90°，推出∠CBE+∠BDF=90°，求出∠BFD=90°即可．

解答：（1）△ADC≌△BCE，
证明：∵等腰直角三角形ACB和△DCE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，
在△ADC和△BEC中

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

，
∴△ADC≌△BEC．

（2）证明：延长AD交BE于F，
由（1）知：△ADC≌△BEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠ACD=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，
∵∠BDF=∠ADC，
∴∠EBC+∠BDF=90°，
∴∠BFD=180°-（∠EBC+∠BDF）=90°，
∴AD⊥BE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．