题目内容
【题目】已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B.
(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A,求证:PA=PB;
(2)在(1)的条件下,若点C是AB与OP的交点,且满足,求△POB与△PBC的面积之比;
(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO,求OP的长.
【答案】(1)详见解析;(2)△POB与△PBC的面积之比为4:3;(3)OP=或
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【解析】
(1) 作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,可以把求证PA=PB的问题转化为证明△PAF≌△PBG即可;
(2)首先证明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解;
(3)分点A在射线OM上,点A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论,作OT的垂线,利用三角函数即可求解.
(1)证明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,
∴PA=PB;
(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,
∴∠POB=∠PBC,
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,
∴
∴△POB与△PBC的面积之比为4:3;
(3)①当点A在射线OM上时(如图乙1),
∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,∴OP=OE+PE=
②当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2),
此时∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,∴OP=
∴综上所述,OP=或
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