题目内容

【题目】已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B

(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于点A,求证:PAPB

(2)在(1)的条件下,若点CABOP的交点,且满足,求△POB与△PBC的面积之比;

(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO,求OP的长

【答案】(1)详见解析;(2)△POB△PBC的面积之比为4:3;(3)OP=.

【解析】

(1) PFOMF,作PGONG可以把求证PA=PB的问题转化为证明PAF≌△PBG即可;

(2)首先证明POB∽△PBC,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解;

(3)分点A在射线OM,A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论,OT的垂线,利用三角函数即可求解.

(1)证明:作PF⊥OMF,作PG⊥ONG,

∵OP平分∠MON,

∴PF=PG,

∵∠MON=60°,

∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,

∵∠APB=120°,

∴∠APF=∠BPG,

∴△PAF≌△PBG,

∴PA=PB;

(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,

∴∠PAB=∠PBA=30°,

∵∠MON=60°,OP平分∠MON,

∴∠TON=30°,

∴∠POB=∠PBC,

∠BPO=∠OPB,

∴△POB∽△PBC,

∴△POB△PBC的面积之比为4:3;

(3)①当点A在射线OM上时(如图乙1),

∠BPD=∠BOA=60°,

∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,

∴∠OBA=∠PBD=75°,

BE⊥OTE,

∵∠NOT=30°,OB=2,

∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,

∴∠EBP=∠EPB=45°,

∴PE=BE=1,∴OP=OE+PE=

当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2),

此时∠AOB=∠DPB=120°,

∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,

∴∠OBA=∠PBD=15°,

BE⊥OTE,

∵∠NOT=30°,OB=2,

∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,

∴∠EBP=∠EPB=45°,

∴PE=BE=1,∴OP=

综上所述,OP=.

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