题目内容

如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…,已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依此为S2,S3,…,Sn(n为正整数),那么第8个正方形的面积S8=
128
128
分析:根据下一个正方形的边长等于前一个正方形的对角线,再利用正方形的对角线等于边长的
2
倍,然后根据正方形的面积公式依次进行求解,从而得到面积的变化规律,即可得解.
解答:解:∵正方形ABCD的面积S1为1,
∴S1=AB2=1,
∵正方形ACEF的边长是AC是正方形ABCD的对角线,
∴AC=
2
AB,
∴正方形ACEF的面积S2=AC2=(
2
AB)2=2AB2=2,
∵正方形ACEF的对角线AE是正方形AEGH的边长,
∴AC=
2
AC,
∴正方形AEGH的面积S3=AE2=(
2
AC)2=2AC2=22
∵正方形AEGH的对角线HE是正方形HEIJ的边长,
∴HE=
2
AE,
∴正方形AEGH的面积S4=HE2=(
2
AE)2=2AE2=23
…,
依此类推,Sn=2n-1
∴第8个正方形的面积S8=27=128.
故答案为:128.
点评:本题考查了正方形的对角线等于边长的
2
倍的性质,正方形的面积公式,依次求解得到面积的变化规律,从而得到第n个正方形的面积的表达式是解题的关键.
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