题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴ 
，
∴ 
，
∴抛物线解析式为y=﹣ 
x2+ 
x﹣2；
（2）
解：如图1，
由（1）知y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ；
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2， ），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞ ），
∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM2+BM2=OB2，
∴m2+4+m2+1=9，
∴m= 
或m=﹣ （舍），
∴M（0， ），
∴MD= ﹣ ，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t= ﹣ ；
（3）
解：存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图2，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=﹣ 
x+1①，
∵点P在抛物线y=﹣ x2+ x﹣2②上，
联立①②得 
，
解得 
或 
（舍去），
∴P（ 
， 
）．
【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；（3）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．
