题目内容

(1)探索:解下列方程,将得到的两根x1,x2和x1+x2,x1•x2的值填入下面的表格.
 方程x1 x2  x1+x2 x1•x2
 x2+3x-4=0    
 2x2+x-1=0    
 3x2-5x+2=0    
(2)猜想:x1+x2,x1•x2的值与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(x1,x2是其两个根)的各项系数a,b,c之间有何关系?
(3)利用一元二次方程的求根公式证明(2)中的猜想.
【答案】分析:(1)对方程分解因式求解:
第一个:(x+4)(x-1)=0,x1=-4,x2=1;
第二个:(2x-1)(x+1)=0,x1=,x2=-1;
第三个:(3x-2)(x-1)=0,x1=,x2=1.并分别计算出两根之积,两根之和填入表格中.
(2)(3)首先求出方程的两个实根,求和,求积,即可证明根与系数的关系为:x1+x2=-,x1x2=
解答:解:(1)
方程   x1 x2 x1+x2x1•x2
x2+3x-4=0-4 1-3-4
2x2+x-1=0   -1--
3x2-5x+2=0    1        
(2)根与系数的关系为:x1+x2=-,x1x2=

(3)对于方程:ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c是常数),当△≥0时,利用求根公式,得
x1=,x2=-
x1+x2=+-=-
x1x2=()•(-)=(2-(2=
∴x1+x2=-,x1x2=是正确的.
点评:本题是找规律题,首先通过计算求出各个方程的根,观察后得出猜测,再用求根公式进行证明.
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