Question

已知抛物线y=-x²+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．
（1）求m，n的值；
（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；
（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式求出m=-4．再利用抛物线与x轴只有一个交点，得出m²-4n=0，进而得出n的值；
（2）根据m，n的值求出二次函数解析式，进而利用二次函数的平移得出新的解析式；
（3）根据等边三角形的性质得出tan60°=

DH

BH

．进而得出a²=3（b-1）²．求出a，b的值即可．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴m=-4．
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴m²-4n=0．
∴n=4．

（2）∵m=-4，n=4，
∴y=-x²-4x-4．
∴y=-（x+2）²．
∴抛物线C的解析式为　y=x²-1．

（3）假设点D存在，设D（a，b）．
作DH⊥y轴于点H，如图；
则DH=|a|，BH=|b-1|．
由△DPB为等边三角形，
得Rt△DHB中，∠HBD=60°．
∴tan60°=

DH

BH

．
∴

3

=

|a|

|b-1|

．
∴a²=3（b-1）²．
∵D（a，b）在抛物线C上，
∴b=a²-1．
∴b=3（b-1）²-1．
∴b=2或b=

1

3

．
∴a=±

3

或a=±

2 3

3

．
∴满足条件的点存在，分别为D1(

3

，2)，D2(-

3

，2)，D3(

2 3

3

，

1

3

)，D4(-

2 3

3

，

1

3

)．

点评：此题主要考查了二次函数的综合题目，利用函数与坐标轴交点性质以及二次函数平移是重点知识，同学们应重点掌握．