题目内容
【题目】(2016·大连中考)如图,抛物线y=x2-3x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E.
(1)求直线BC的解析式;
(2)当线段DE的长度最大时,求点D的坐标.
【答案】(1) (2)
解:(1)∵抛物线y=x2-3x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,∴令y=0,可得x=
或x=
,∴A点坐标为
,B点坐标为
;令x=0,则y=
,∴C点坐标为
.设直线BC的解析式为y=kx+b,则有
解得
∴直线BC的解析式为y=-
x+
;
(2)设点D的横坐标为m,则坐标为,∴E点的坐标为
.设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点,则d=-
m+
-
=-m2+
m.∵a=-1<0,∴当m=
=
时,d有最大值,d最大=
=
,∴m2-3m+
=
-3×
+
=-
,∴点D的坐标为
.
【解析】试题分析:本题考查了二次函数与一元二次方程,待定系数法求一次函数关系式,二次函数的图像与性质.
(1)解一元二次方程求出A、B的坐标,根据y轴上点的坐标特征求出点C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式;
(2)设点D的横坐标为m,表示出D点的坐标和E点的坐标,根据二次函数的性质解答即可.
解:(1)∵抛物线y=x2-3x+与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,∴令y=0,可得x=
或x=
,∴A点坐标为
,B点坐标为
;令x=0,则y=
,∴C点坐标为
.设直线BC的解析式为y=kx+b,则有
解得
∴直线BC的解析式为y=-
x+
;
(2)设点D的横坐标为m,则坐标为,∴E点的坐标为
.设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点,则d=-
m+
-
=-m2+
m.∵a=-1<0,∴当m=
=
时,d有最大值,d最大=
=
,∴m2-3m+
=
-3×
+
=-
,∴点D的坐标为
.
