Question

（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
（3）综合利用几何变换和相似关系求解．
方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：

9a+3b=0 16a+4b=4

，解得：

a=1 b=-3

，
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），
得：4=4k₁，解得：k₁=1
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x²-3x上，
∴可设D（x，x²-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=

1

4

，
∴直线A′B的解析式是y=

1

4

x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，

1

4

n+3），又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n，
解得：n₁=-

3

4

，n₂=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-

3

4

，

45

16

）．

方法一：
如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，
则N₁（-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴

OP1

ON1

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴点P₁的坐标为（-

3

8

，-

45

32

）．
将△OP₁D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（

45

32

，

3

8

），
综上所述，点P的坐标是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

方法二：
如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N₂OB₂，
则N₂（

45

16

，

3

4

），B₂（4，-4），
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，
∴△P₁OD∽△N₂OB₂，
∴

OP1

ON2

=

OD

OB2

=

1

2

，
∴点P₁的坐标为（

45

32

，

3

8

）．
将△OP₁D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（-

3

8

，-

45

32

），
综上所述，点P的坐标是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．