Question

如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax²+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．

（1）求二次函数y＝ax²+bx+c的解析式；

（2）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数y＝ax²+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，

∴0=0.5x+2，

∴x=﹣4，

与y轴交于点B，

∵x=0，

∴y=2

∴B点坐标为：（0，2），

∴A（﹣4，0），B（0，2），

∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2

∴可设二次函数y=a（x﹣2）²，

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函数的解析式：y=0.5x²﹣2x+2；

（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP₁⊥AD交x轴于P₁点由Rt△AOB∽Rt△BOP₁∴=，

∴=，

得：OP₁=1，

∴P₁（1，0），

（Ⅱ）作P₂D⊥BD，连接BP₂，

将y=0.5x+2与y=0.5x²﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），

则AD=，

当D为直角顶点时

∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，

∴△ABO∽△AP₂D，

∴=，

=，

解得：AP₂=11.25，

则OP₂=11.25﹣4=7.25，

故P₂点坐标为（7.25，0）；

（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P₃（a，0）

则由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D

得：，

∴，

∵方程无解，

∴点P₃不存在，

∴点P的坐标为：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．