题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,-3).

(1)求抛物线解析式;

(2)点M是(1)中抛物线上一个动点,且位于直线AC的上方,试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标;

(3)抛物线上是否存在点P,使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形?如果存在,求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+4x-3;(2),M();(3)(-1,-8)或(2,1).

【解析】

试题分析:(1)代入A,C两点,列出方程,解得a,b即可;

(2)设M(a,-a2+4a-3),求出直线直线AC的解析式为:y=1-x,过M作x轴的垂线交AC于N,则N(a,1-a),即有三角形ACM的面积为△AMN和△CMN的面积之和,化简运用二次函数的最值,即可得到;

(3)讨论当∠ACP=90°,当∠CAP=90°,运用直线方程和抛物线方程求交点即可.

试题解析:(1)由于A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,-3),

则a+b-3=0,且16a+4b-3=-3,

解得,a=-1,b=4,

即抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3;

(2)设M(a,-a2+4a-3),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

根据题意得:

解得:

∴直线AC的解析式为:y=1-x,

过M作x轴的垂线交AC于N,

如图所示:则N(a,1-a),

即有三角形ACM的面积为△AMN与△CMN的面积之和,即为

(a-1+4-a)(-a2+4a-3-1+a)

=(-a2+5a-4),

当a=时,面积取得最大,且为

此时M();

(3)存在,理由如下:

当∠ACP=90°,即有此时CP:y=x-7,

由CP解析式和抛物线解析式得:

解得:,或(不合题意舍去),

∴P(-1,-8);

当∠CAP=90°,由AC的斜率为-1,即有AP的斜率为1,

此时AP:y=x-1,

由AP解析式和抛物线解析式得:

解得:,或,(不合题意舍去),

∴P(2,1).

故存在点P,且为(-1,-8)或(2,1),使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形.

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