题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,-3).
(1)求抛物线解析式;
(2)点M是(1)中抛物线上一个动点,且位于直线AC的上方,试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标;
(3)抛物线上是否存在点P,使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形?如果存在,求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+4x-3;(2),M(,);(3)(-1,-8)或(2,1).
【解析】
试题分析:(1)代入A,C两点,列出方程,解得a,b即可;
(2)设M(a,-a2+4a-3),求出直线直线AC的解析式为:y=1-x,过M作x轴的垂线交AC于N,则N(a,1-a),即有三角形ACM的面积为△AMN和△CMN的面积之和,化简运用二次函数的最值,即可得到;
(3)讨论当∠ACP=90°,当∠CAP=90°,运用直线方程和抛物线方程求交点即可.
试题解析:(1)由于A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,-3),
则a+b-3=0,且16a+4b-3=-3,
解得,a=-1,b=4,
即抛物线的解析式为:y=-x2+4x-3;
(2)设M(a,-a2+4a-3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
根据题意得:,
解得:,
∴直线AC的解析式为:y=1-x,
过M作x轴的垂线交AC于N,
如图所示:则N(a,1-a),
即有三角形ACM的面积为△AMN与△CMN的面积之和,即为
(a-1+4-a)(-a2+4a-3-1+a)
=(-a2+5a-4),
当a=时,面积取得最大,且为,
此时M(,);
(3)存在,理由如下:
当∠ACP=90°,即有此时CP:y=x-7,
由CP解析式和抛物线解析式得:,
解得:,或(不合题意舍去),
∴P(-1,-8);
当∠CAP=90°,由AC的斜率为-1,即有AP的斜率为1,
此时AP:y=x-1,
由AP解析式和抛物线解析式得:,
解得:,或,(不合题意舍去),
∴P(2,1).
故存在点P,且为(-1,-8)或(2,1),使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形.