题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为边BC上的中线，点E在AD上，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BE的延长线于点F，点G在EF上，且∠EAG＝∠CAF，连接CE．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FG＝CE；
（3）若EF平分∠AEC，则∠BAE与∠ABE满足的等量关系为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）∠BAE+∠ABE＝60°．
【解析】
（1）依题意补全图形即可；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABE＝∠AFG，∠EAB＝∠GAF，证明△EAB≌△GAF（ASA），得出BE＝FG，证明△EAB≌△EAC（SAS），得出BE＝CE，即可得出结论；（3）由（2）得∠CAE＝∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，由全等三角形的性质得出AE＝AG，∠ABE＝∠ACE，由等腰三角形的性质得出∠AEG＝∠AGE，证出∠AEG＝∠EAG＝∠AGE，得出△AGE是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠AEG＝60°，由三角形的外角性质即可得出结论．
（1）解：依题意补全图形，如图所示：
（2）证明：由题意得：AB＝AC＝AF，
∴∠ABE＝∠AFG，
∵∠EAC+∠CAG＝∠EAG，∠CAG+∠GAF＝∠CAF，∠EAG＝∠CAF，
∴∠EAC＝∠GAF，
∵AB＝AC，AD为边BC上的中线，
∴∠EAC＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠GAF，
在△EAB和△GAF中，
，
∴△EAB≌△GAF（ASA），
∴BE＝FG，
在△EAB和△EAC中，
，
∴△EAB≌△EAC（SAS），
∴BE＝CE，
∴FG＝CE；
（3）解：由（2）得：∠CAE＝∠BAE，△EAB≌△GAF，△EAB≌△EAC，
∴AE＝AG，∠ABE＝∠ACE，
∴∠AEG＝∠AGE，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEG＝∠CEG，
∴∠AGE＝∠CEG，
∴AG∥CE，
∴∠GAC＝∠ACE，
∴∠ABE＝∠GAC，
∵∠AEG＝∠ABE+∠BAE，∠EAG＝∠EAC+∠GAC，
∴∠AEG＝∠EAG＝∠AGE，
∴△AGE是等边三角形，
∴∠AEG＝60°，
∴∠BAE+∠ABE＝60°，
故答案为：∠BAE+∠ABE＝60°．
