Question

（2013•河池）已知：抛物线C₁：y=x²．如图（1），平移抛物线C₁得到抛物线C₂，C₂经过C₁的顶点O和A（2，0），C₂的对称轴分别交C₁、C₂于点B、D．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；
（3）如图（2），将抛物线C₂向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C₃，C₃的顶点为G，与y轴交于M．点N是M关于x轴的对称点，点P（-

4

3

m，

1

3

m）在直线MG上．问：当m为何值时，在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？

Answer 1

分析：（1）设设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；
（2）四边形ODAB的形状为正方形，求出抛物线C₂的顶点坐标D为（1，-1）和B的坐标为（1，1）进而证明四边形ODAB为菱形，再证明是正方形即可；
（3）当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：①若MN是平行四边形的一条边②若MN是平行四边形的一条对角线，在分别讨论求出满足题意的m值即可．

解答：解：（1）∵抛物线C₂经过C₁的顶点O，
∴设抛物线C₂的解析式为y=x²+bx，
∵C₂经过A（2，0），
∴4+2b=0，
解得：b=-2，
∴求抛物线C₂的解析式为y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴抛物线C₂的顶点坐标D为（1，-1），
当x=1时，y=1，
∴点B的坐标为（1，1），
∴根据勾股定理得：OB=AB=OD=AD=

2

，
∴四边形ODAB是菱形，
又∵OA=BD=2，
∴四边形ODAB是正方形；

（3）∵抛物线C₂向m个单位下平移（m＞0）得抛物线C₃，
∴抛物线C₃的解析式为y=（x-1）²-1-m，
在y=（x-1）²-1-m中，令x=0，得y=-m，
∴M（0，-m），
∵点N是M关于x轴的对称点，
∴N（0，m），
∴MN=2m，
当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：
①若MN是平行四边形的一条边，
由MN=PQ=2m和点P（-

4

3

m，

1

3

m）得Q（-

4

3

m，

7

3

m），
∵点Q在抛物线C₃上，
∴

7

3

m=（-

4

3

m-1）²-1-m，
解得：m=

3

8

或m=0（舍去），
②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称得Q（

4

3

m，-

1

3

m）
∵点Q在抛物线C₃上，
∴-

1

3

m=（

4

3

m-1）²-1-m，解得：m=

15

8

或m=0（舍去）
综上所述，当m=

3

8

或

15

8

时，
在抛物线C₃上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．

点评：本题考查了二次函数的平移、二次函数的顶点坐标的求法、平行四边形的判定和性质以及菱形、正方形的判定和性质，用到的知识点还有一元二次方程的解法以及分类讨论的数学思想，题目的综合性很强，难度很大．