Question

【题目】如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

【答案】证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM= AB，
∴∠MEF=∠P
同理可证：FM∥CD，FM= CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠P=∠CQF．．
【解析】如图，连接BD，作BD的中点M，连接FM、EM．利用三角形中位线定理证得△EMF是等腰三角形，则∠MEF=∠MFE．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠DCQF．根据等量代换证得∠P=∠CQF．
【考点精析】利用三角形中位线定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．