题目内容

如图①，已知正方形AOBC的边长为3，A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上，以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，抛物线以点E为顶点，且经过点A．

（1）求抛物线解析式并判断点B是否在抛物线上；
（2）如图②，判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系，并说明理由；
（3）若在抛物线上有点P，在抛物线的对称轴上有点Q，使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标．

解：（1）如图①，过E作EF⊥y轴于F，则∠EFD=∠DOB=90°．
∵以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，
∴∠BDE=90°，DE=DB，
∴∠1+∠2=90°，

∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴EF=DO=1，FD=OB=3，
∴E（1，4）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，
把A（0，3）代入上式，得
3=a（0-1）²+4，解得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4．
当x=3时，y=-（3-1）²+4=0，
∴点B（3，0）在抛物线上；

（2）直线AE与圆相切．理由如下：
如图②，连接AB，则AB为圆的直径，
在正方形AOBC中，∠OAB=45°，

由（1）知，EF=1，FA=OF-OA=4-3=1，
∴在Rt△EFA中，∠FAE=45°，
∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°，
∴直径AB⊥AE，
∴直线AE与圆相切；

（3）①当OB为边时，如图③，

∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OB，且PQ=OB=3．
∵点Q在对称轴x=1上，
∴点P的横坐标为-2或4．

当x=-2时，y=-（-2-1）²+4=-5；
当x=4时，y=-（4-1）²+4=-5．

即符合条件的点P有两个，P₁（-2，-5），P₂（4，-5）；
②当OB为对角线时，如图④，
∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ与OB互相平分．
又点Q在对称轴x=1上，且线段OB的中点横坐标为 $\text{[math]}$ ，

∴点P的横坐标为2，

当x=2时，y=-（2-1）²+4=3，
即符合条件的点P只有一个，即P₃（2，3），
综上所述，符合条件的点P共有三个，即P₁（-2，-5），P₂（4，-5），P₃（2，3）．
分析：（1）过E作EF⊥y轴于F，则∠EFD=∠DOB=90°，根据旋转的性质得出∠BDE=90°，DE=DB，由余角的性质及三角形内角和定理可得∠2=∠3，则由AAS证明△DEF≌△BDO，根据全等三角形的对应边相等得到EF=DO=1，FD=OB=3，即抛物线顶点E的坐标为（1，4），则可设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+4，把A（0，3）代入，运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可判断出点B在抛物线上；
（2）连接AB，先由正方形的性质可得∠OAB=45°，再证明△EFA为等腰直角三角形，则∠FAE=45°，然后根据平角的定义得出∠EAB=90°，由切线的判定定理即可得出直线AE与圆相切；
（3）分两种情况讨论：①当OB为边时，由Q点在对称轴x=1上，根据平行四边形的对边平行且相等可确定P点的横坐标，再代入抛物线的解析式，求出P点纵坐标即可；②OB为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，即PQ的中点与OB的中点重合，根据中点坐标公式求出点P的横坐标，再代入抛物线的解析式，求出P点纵坐标即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到旋转的性质，全等三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质，切线的判定，函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，综合性较强，难度中等，利用数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．