Question

（如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．

（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为_________；
②当AC=3，BC=4时，AD的长为_________；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

(1)①;②或;(2)△CEF与△ABC相似．理由详见解析.

试题分析：(1)①如图1，有△CEF与△ABC相似，可得∠CEF=∠A=45°,由题意知△CEF≌△DEF,所以CE=DE,∠DEF=∠CEF=45°,所以∠DEC=90°,即∠AED=90°,又∠A=45°,所以△AED是等腰直角三角形，所以AE=DE,所以AE=CE=1,根据勾股定理可求得AD=.②分两种情况：一、当△CEF∽△CAB时，如图2，则有∠CEF=∠CAB,所以EF∥AB,根据题意，点C与点D关于直线EF对称，所以CD⊥EF,所以CD⊥AB,由三角形的面积公式可求得CD=2.4，在△ACD中，由勾股定理可得AD=;二、当△CFE∽△CAB时，如图3，此时有∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,又∠A+∠B=90°,所以∠A+∠CEF="90°," ∠B+∠CFE=90°，前面已证EF⊥CD,所以∠DCE+∠CEF=90°，∠DCF+∠CFE=90°，所以∠A=∠ACD, ∠B=∠BCD,所以AD=CD=BD=2.5；（2）利用折叠前后对应的部分关于折叠线对称，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得∠A=∠CFE, ∠B=∠CEF,所以得证.
 
试题解析：（1）①；②；
（2）△CEF与△ABC相似．理由如下：
如图，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠CFE=∠A，
又∵∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．