题目内容
【题目】如图，
中，已知，
,
于D，
，
，如何求AD的长呢？
心怡同学灵活运用对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题，
请按照她的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出
、
的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形；
（2）设
，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
【答案】（1）见详解；（2）18
【解析】
（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-6）2+（x-9）2=152，求出AD=x=6．
解：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF
∴四边形AEGF是正方形
（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x
∵BD=6，DC=9
∴BE=6，CF=9
∴BG=x-6，CG=x-9
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2
∴（x-6）2+（x-9）2=152
∴（x-6）2+（x-9）2=152，化简得，x2-15x-54=0，整理得（x-18）（x+3）=0
解得x1=18，x2=-3（舍去）
所以AD=x=18
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