Question

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　　．

Answer 1

﹣2＜k＜

解析试题分析：根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立消掉y得，
x²﹣2x+2k=0，
△=（﹣2）²﹣4×1×2k=0，
即k=时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∴点A的坐标为（，），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k=0，
解得k=﹣2，
∴要使抛物线y=x²+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．
故答案为：﹣2＜k＜．
考点： 二次函数的性质．