Question

（2010•保定一模）将球放在一个圆柱形玻璃杯的杯口上，右图是其轴截面的示意图．杯口内径AB为⊙O的弦，且AB=6cm，⊙O的直径DE⊥AB于点C，测得tan∠DAB=

5

3

，求该球的直径．

Answer 1

分析：连接OA，由直径DE与弦AB垂直，利用垂径定理得到C为AB中点，根据AB的长求出AC的长，在直角三角形ADC中，由∠ADB的正切值，由AC求出CD的值，设球的直径为d，在直角三角形OAC中，根据勾股定理列出关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值．

解答：解：连接OA，
∵直径DE⊥AB，且AB=6cm，
∴由垂径定理得：AC=

1

2

AB=3，（2分）
∴CD=AC•tan∠DAB=5，（4分）
设该球的直径为d，则在Rt△OAC中，
根据勾股定理有：（

1

2

d）²=（5-

1

2

d）²+3²，（6分）
化简得：

1

4

d²=25-5d+

1

4

d²+9，即5d=34，
解得：d=

34

5

（cm）．（8分）

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，以及锐角三角函数，在运用垂径定理时，常常利用圆的半径，弦心距以及弦长的一半构造直角三角形，借助直角三角形的性质来解决问题，故连接OA构造直角三角形是本题的突破点．