题目内容

【题目】如图,在RtABC中,AB=10cm,sinA=.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动.已知点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤5)

(1)求AC,BC的长;

(2)当t为何值时,APQ的面积为ABC面积的

(3)当t为何值时,APQABC相似.

【答案】(1)AC=8cm,BC=6cm;(2)当t为1s或4s时,APQ的面积为ABC面积的(3)当t为s或s时,APQABC相似.

【解析】

试题分析:(1)根据正弦的定义和勾股定理求出AC,BC的长;

(2)作PEAC于E,根据相似三角形的性质用t表示出PE,根据三角形的面积公式和题意列出方程,解方程即可;

(3)分APQ∽△ABCAPQ∽△ACB两种情况,根据相似三角形的性质列出方程,解方程即可.

解:(1)RtABC中,AB=10cm,sinA=

=

BC=6cm

则AC==8cm,

AC=8cm,BC=6cm;

(2)作PEAC于E,

由题意得,BP=2tcm,AQ=tcm,

则AP=(10﹣2t)cm,

PEBC

=,即=

解得,PE=6﹣t,

∴△APQ的面积=×t×(6﹣t),ABC面积=×6×8=24,

由题意得,×t×(6﹣t)=×24,

解得,t1=1,t2=4,

则当t为1s或4s时,APQ的面积为ABC面积的

(3)当APQ∽△ABC时,=,即=

解得,t=

APQ∽△ACB时,=,即=

解得,t=

故当t为s或s时,APQABC相似.

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