题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,AB=10cm,sinA=.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动.已知点P的速度为2cm/s,点Q的速度为1cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤5)
(1)求AC,BC的长;
(2)当t为何值时,△APQ的面积为△ABC面积的;
(3)当t为何值时,△APQ与△ABC相似.
【答案】(1)AC=8cm,BC=6cm;(2)当t为1s或4s时,△APQ的面积为△ABC面积的;(3)当t为s或s时,△APQ与△ABC相似.
【解析】
试题分析:(1)根据正弦的定义和勾股定理求出AC,BC的长;
(2)作PE⊥AC于E,根据相似三角形的性质用t表示出PE,根据三角形的面积公式和题意列出方程,解方程即可;
(3)分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况,根据相似三角形的性质列出方程,解方程即可.
解:(1)∵Rt△ABC中,AB=10cm,sinA=,
∴=,
∴BC=6cm,
则AC==8cm,
∴AC=8cm,BC=6cm;
(2)作PE⊥AC于E,
由题意得,BP=2tcm,AQ=tcm,
则AP=(10﹣2t)cm,
∵PE∥BC,
∴=,即=,
解得,PE=6﹣t,
∴△APQ的面积=×t×(6﹣t),△ABC面积=×6×8=24,
由题意得,×t×(6﹣t)=×24,
解得,t1=1,t2=4,
则当t为1s或4s时,△APQ的面积为△ABC面积的;
(3)当△APQ∽△ABC时,=,即=,
解得,t=,
当△APQ∽△ACB时,=,即=,
解得,t=,
故当t为s或s时,△APQ与△ABC相似.
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