Question

【题目】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．

Answer 1

【答案】4+4．

【解析】

将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出即可．

将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，

∵∠BAC＝∠D＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ABD+∠ABE＝180°，

∴E，B，M三点共线，

∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，

∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠EAM＝∠MAN，

在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴MN＝ME，

∴MN＝CN+BM，

∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，

∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，

故答案为：4+4．