Question

如图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论：
①“距离坐标”是（0，1）的点有1个；
②“距离坐标”是（5，6）的点有4个；
③“距离坐标”是（a，a）（a为非负实数）的点有4个．
其中正确的有（　　）

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

Answer 1

分析：根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出 ①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个；
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．
进而得出解集从而确定答案．

解答：解：如上图，平面中两条直线l₁和l₂相交于点O，对于平面上任意一点M，
若p、q分别是M到直线l₁和l₂的距离，则称有序非负数实数对（p、q）是点M的“距离坐标”．
已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个；
③若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．
与L1距离是1的点是与之平行的两条直线 与L2的距离是2的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有4个交点．
2）易知p，q中有且仅有一个为0，当p为0时，坐标点在L1上，分别为关于O点对称的两点，反则在L2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在，因为p，q是已知量，所以只有2个这样的点
3）与前一题相似，L1上有4个或L2有4个，但不同时存在，所以题干正确，
题目中点到直线的距离，分别为p、q，由于p、q的范围是常数p≥0，q≥0，所以对p、q进行分类讨论，验证①②③是否成立．
①正确，此点为点O；
②正确，注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；
③正确，四个交点为与直线l₁相距为p的两条平行线和与直线l₂相距为q的两条平行线的交点．
故选B．

点评：此题主要考查了角平分线的性质，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意．这是一个好题，注意变形去掉p≥0，q≥0又该怎样解是解决问题的关键．