题目内容

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(1)y=x2-2x-3;(2)存在点P,P点的坐标为(,?);(3)P点的坐标为(,?),四边形ABPC的面积的最大值为.

试题分析:(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;
(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;
(3)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.
(1)将B、C两点的坐标代入得,解得:
所以二次函数的表达式为:y=x2-2x-3
(2)存在点P,使四边形POP′C为菱形;
设P点坐标为(x,x2-2x-3),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
连接PP′,则PE⊥CO于E,

∵C(0,-3),
∴CO=3,
又∵OE=EC,
∴OE=EC=
∴y=?
∴x2-2x-3=?
解得x1=,x2=(不合题意,舍去),
∴P点的坐标为(,?
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2-2x-3),

设直线BC的解析式为:y=kx+d,
,解得:
∴直线BC的解析式为y=x-3,
则Q点的坐标为(x,x-3);
当0=x2-2x-3,
解得:x1=-1,x2=3,
∴AO=1,AB=4,
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+(?x2+3x)×3
=?(x?)2+
当x=时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为(,?),四边形ABPC的面积的最大值为
练习册系列答案
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