题目内容
【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ABC=2∠D,连接OA、OB、OC、AC,OB与AC相交于点E.
(1)求∠OCA的度数;
(2)若∠COB=3∠AOB,OC=2 , 求图中阴影部分面积(结果保留π和根号)
【答案】
(1)
解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠ABC+∠D=180°,
∵∠ABC=2∠D,
∴∠D+2∠D=180°,
∴∠D=60°,
∴∠AOC=2∠D=120°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°;
(2)
解:∵∠COB=3∠AOB,
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°,
∴∠AOB=30°,
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°,
在Rt△OCE中,OC=2,
∴OE=OCtan∠OCE=2tan30°=2
×
=2,
∴S△OEC=OEOC=
×2×2
=2
,
∴S扇形OBC==3π,
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2.
【解析】(1)根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°,根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°,从而求得∠D=60°,最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°;
(2)首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°,从而得到∠COB为直角,然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解.
此题考查了圆的综合应用,涉及知识点有圆内接四边形性质,割补法求扇形面积.

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