题目内容
如图1,把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起,使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C,垂直AB于G,其中∠B=∠F=30°,斜边AB和EF均为4.现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α(0<α<90°),如图2,EG交AC于点K,GF交BC于点H.在旋转过程中,请你解决以下问题:
(1)GH∶GK的值是否变化?证明你的结论;
(2)连结HK,求证:KH∥EF;
(3)设AK=x,请问是否存在x,使△CKH的面积最大,若存在,求x的值,若不存在,请说明理由.
(1)解:GH∶GK的值不变,GH∶GK=.
证明如下:∵CG⊥AB,∴∠AGC=∠BGC=90°.
∵∠B=30°,∠ACB=90°,∴∠A=∠GCH=60°.
∵∠AGB=∠BGC=90°,
∴∠AGK=∠CGH.
∴△AGK∽△CGH.∴.
∵在Rt△ACG中,tan∠A=,
∴GH∶GK=.
(2)证明:由(1)得,在Rt△KHG中,tan∠GKH=,∴∠GKH=60°.
∵在△EFG中,∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°,
∴∠GKH=∠E.
∴KH∥EF.
(3)解:存在x=1,使△CKH的面积最大.理由如下:
由(1)得△AGK∽△CGH,∴,∴.
在Rt△EFG中,∠EGF =90°,∠F=30°,∴AC=EF=2,
∴CK=AC-AK=2-x.
∴.
∴当x=1时,△CKH的最大面积为.