Question

如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：

（1）GH：GK的值是否变化？证明你的结论；
（2）连接HK，求证：KH∥EF；
（3）设AK=x，请问是否存在x，使△CKH的面积最大？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）GH：GK的值没发生变化，根据已知条件证明△AGK∽△CGH，由相似三角形的性质可得：

GH

GK

=

CG

AG

，又因为在Rt△ACG中，tan∠A=

CG

AG

=

3

，所以GH：GK的比值是一个的值

3

；
（2）连接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH=

GH

GK

=

3

，所以∠GKH=60°，再根据三角形的内角和证明，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，即可证得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等两线平行即可证明KH∥EF；
（3）设AK=x，存在x=1，使△CKH的面积最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH=

3

AK=

3

x，根据三角形的面积公式表示出S_△CHK=

1

2

CK•CH=

1

2

（2-x）•

3

x，再把二次函数的解析式化为顶点式即可求出x的值．

解答：（1）解：GH：GK的值不变，GH：GK=

3

．证明如下：
∵CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BGC=90°．
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠GCH=60°．
∵∠AGC=∠BGC=90°，
∴∠AGK=∠CGH．
∴△AGK∽△CGH．
∴

GH

GK

=

CG

AG

．                                    
∵在Rt△ACG中，tan∠A=

CG

AG

=

3

，
∴GH：GK=

3

．                                                    

（2）证明：连接HK，如图2，
由（1）得，在Rt△KHG中，tan∠GKH=

GH

GK

=

3

，
∴∠GKH=60°．
∵在△EFG中，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，
∴∠GKH=∠E．
∴KH∥EF；                                              
（3）解：存在x=1，使△CKH的面积最大．理由如下：
由（1）得△AGK∽△CGH，
∴

CH

AK

=

CG

AG

=

3

，
∴CH=

3

AK=

3

x，
在Rt△EFG中，∠EGF=90°，∠F=30°，
∴AC=

1

2

EF=2，
∴CK=AC-AK=2-x．                                               
∴S_△CHK=

1

2

CK•CH=

1

2

（2-x）•

3

x，
=-

3

2

（x-1）²+

3

2

，
∴当x=1时，△CKH的最大面积为

3

2

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质、平行线的判定和性质、三角形的面积公式、二次函数的最值问题，题目的综合性很强，难度中等．