Question

如图：中，点是边上一动点，过点作直线∥，设交的平分线于点，交的外角平分线于点。（8分）

⑴求证：；
⑵当点运动到中点时，四边形为怎样的四边形，并证明你的结论；

Answer 1

见解析

试题分析:解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF。
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形。
点评：此类试题属于高难度试题，考生务必留意以下出题点：
（1）矩形的判定
　①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
　②有三个角是直角的四边形是矩形
　③对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形
（2）矩形的性质定理：矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面来看：
　①从边看，矩形对边平行且相等。
　②从角看，矩形四个角都是直角。
　③从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。
　④矩形具有菱形和平行四边形的一切性质
　矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。