Question

（2013•上海模拟）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，AC⊥BE，E点为垂足，M点为AB边的中点，联结ME、MD、ED．
（1）求证：△MED与△BMD都是等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出ME=MD，从而得到△MED是等腰三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出MD=BM，从而得到△BMD是等腰三角形；
（2）根据等边对等角的性质可得∠MAE=∠MEA，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠BME=2∠MAE，同理求出∠BMD=2∠MAD，然后根据∠EMD=∠BME-∠BMD整理即可得解．

解答：证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=

1

2

AB，MD=

1

2

AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
∵M为AB边的中点，AD⊥BC，
∴MD=BM=

1

2

AB，
∴△BMD都是等腰三角形；

解：（2）∵ME=

1

2

AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理可得：MD=

1

2

AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∵∠EMD=∠BME-∠BMD，
=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记各性质并准确识图是解题的关键．