Question

（2013•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=AC=9，DE⊥CD交BC于点E，tan∠DCB=

1

2

，则BE=

3

．

Answer 1

分析：过A作AM⊥DC于M，EN∥CD，交AB于N，求出CM=DE，证△CDE≌△AMC得出EC，求出EN=

1

4

CD，根据△BEN∽△BDC得出比例式，求出BE即可．

解答：解：过A作AM⊥DC于M，EN∥CD，交AB于N，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，CM=

1

2

CD，
∵∠EDC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DCE+?DEC=90°，∠BDE+∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠DEC，∠BDE=∠DCE，
∵EN∥CD，∠CDE=90°，
∴∠DEN=90°，
∵tan∠DCE=

1

2

=

DE

CD

，
∴DE=

1

2

CD，tan∠BDE=

1

2

=

EN

DE

，
∴EN=

1

4

CD，
∵CM=

1

2

CD，DE=

1

2

CD，
∴DE=CM，
在△CDE和△AMC中
∵

∠AMC=∠EDC CM=DE ∠ACM=∠DEC

，
∴△CDE≌△AMC
∴EC=AC=9，
∵EN∥CD，
∴△BNE∽△BDC，
∴

BE

BC

=

EN

CD

=

1

4

，
∴

BE

BE+9

=

1

4

，
∴BE=3，
故答案为：3．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．