题目内容
【题目】如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.
求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出∠EAC=∠BAF,然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF,设AB、CE相交于点D,根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°,再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°,从而得证.
证明:(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°,
所以EC⊥BF.
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