题目内容

【题目】如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.

求证:(1)EC=BF;(2)EC⊥BF.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】试题分析:(1)先求出∠EAC=∠BAF,然后利用边角边证明△ABF△AEC全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;

2)根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF,设ABCE相交于点D,根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°,再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°,从而得证.

证明:(1∵AE⊥ABAF⊥AC

∴∠BAE=∠CAF=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC

∠EAC=∠BAF

△ABF△AEC中,

∴△ABF≌△AECSAS),

∴EC=BF

2)如图,根据(1),△ABF≌△AEC

∴∠AEC=∠ABF

∵AE⊥AB

∴∠BAE=90°

∴∠AEC+∠ADE=90°

∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),

∴∠ABF+∠BDM=90°

△BDM中,∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°

所以EC⊥BF

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