Question

【题目】 如图点在以为直径的半圆的圆周上，若 为边上一动点，点和关于对称 ，当与重合时，为的延长线上满足的点，当与不重合时，为的延长线与过且垂直于的直线的交点，

（1）当与不重合时，的结论是否成立？试证明你的判断．

（2）设 求关于 的函数及其定义域；

（3）如存在或恰好落在弧或弧上时，求出此时的值；如不存在，则请说明理由．

（4）请直接写出当从运动到时，线段扫过的面积．

Answer 1

【答案】(1)成立；（2）；（3）x=0或x=2；（4）

【解析】

试题分析：（1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，ED⊥AC，然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知 ；

（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED= ，DN= = （4﹣x）=2﹣，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系式；②当D与A重合时，y=2AC=4；

（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立；②当点F在 上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重合，于是得到AD= =2；

（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三角形的面积公式即可求得答案．

试题解析：

成立：如图，设DE交AC于M,DF交BC于N；

由已知，,

故，因此，又，.

当D与A不重合时，,由AD=x,

得中，，故；

中，BD=4-x，故，

由（1），，故，因此DF=4-x=DB；

中，；

当D与A重合时，如图A、D、E重合，故y=EF=2AC=4(x=0)；

综上，；

当E在上时，由翻折的性质，，

而此时，不满足条件，

故当且仅当D与A重合时，E也与A重合符合条件，此时AD=0;

当F在上时，如图，连接BF、AF，

由且DF=DB，故为等边三角形，，

AB为直径，故，，

因此AD=FD=BD,即此时D与O重合，DF=2;

又此时DF=4-x=2,故x=2；

综上，x=0或x=2；

如图，EF初始位置为，与A点重合；

EF终止位置为，与B点重合；

由，故知E点运动轨迹为线段；

，故知F点运动轨迹为线段，

阴影部分面积即为所求，.