Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．

（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．

 

，

 

；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）

 

；
②求抛物线的解析式；
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理知：∠ADB=90°，首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；
（2）①用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标；
②根据抛物线的解析式，易求得B、D、A的坐标，也就得到了OA、OD、CD、BC的长，根据（1）得出的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a的值，也就能求出抛物线的解析式；
③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN与△OAD相似，则△PAN也必须是等腰Rt△；可根据抛物线的解析式设出P点坐标，然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标．（注意P点横坐标的取值范围）

解答：解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分）

（2）①（1，-4a）（5分）
②∵△OAD∽△CDB
∴

DC

OA

=

CB

OD

（6分）
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0）（8分）
又∵OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴

1

-3a

=

-a

3

∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1；
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3（10分）
③存在，（11分）
设P（x，-x²+2x+3）
∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形
∴PN=AN
当x＜0（x＜-1）时，-x+3=-（-x²+2x+3），x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5）（13分）
当x＞0（x＞3）时，x-3=-（-x²+2x+3），x₁=0，x₂=3；（都不合题意舍去）
符合条件的点P为（-2，-5）．（14分）

点评：此题考查了直角梯形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度较大．