Question

【题目】如图1，直线y＝kx+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AO落在AB上，得到△ACD，将△ACD沿射线BA平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤2，2＜m≤a时，函数的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　，k＝　 　；

（2）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a=4, k＝﹣；（2）S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）

【解析】

（1）先由函数图象变化的特点，得出m=2时的变化是三角形C点与A点重合时，从而得AC的值，进而得点A坐标，易求得点B坐标，从而问题易解得；
（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N；2＜m≤4时，平移后的图形在x轴下方部分的面积S为三角形ANA′的面积减去三角形AQC的面积．

（1）从图2看，m＝2时的变化是三角形C点与A点重合时，

∴AC＝2，

又∵OA＝AC

∴A（2，0），

∴k＝﹣，

由平移性质可知：∠FEM＝∠FAM＝∠DAC＝∠BAO，

从图中可知△EFM≌△AFM（AAS）

∴AM＝EM，

∴AM＝2，

∴a＝4；

（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N，则AA′＝m，翻折及平移知，

∠NAA′＝∠NA′A，

∴NA＝NA′，

过点N作NP⊥AA′于点P，则AP＝A′P＝，

由（1）知，OB＝1，OA＝2，则tan∠OAB＝，

则tan∠NAA′＝，

∴NP＝＝，

∴S＝×AA′×NP＝×m×＝

2＜m≤4时，如下图所示，可知CC′＝m，AC′＝m﹣2，AA′＝m，

同上可分别求得则AP＝A′P＝，NP＝＝，C′Q＝

∴S＝S△AA′N﹣S△AQC′＝﹣（m﹣2）×＝﹣+m﹣1

综上，S关于m的解析式为：S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）