Question

如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：MN垂直CD；
（2）若AB=10，CD=8，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得出CM=

1

2

AB，DM=

1

2

AB，再利用N是CD的中点，得出△DMN≌△CMN，求出MN垂直CD；
（2）利用CN=4，CM=5，由勾股定理求出NM即可．

解答：解：（1）连接MC、MD，
∵∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别是AB、CD的中点，
∴CM=

1

2

AB，DM=

1

2

AB，
∴MC=MD，
∵N是CD的中点，
在△DMN和△CMN中
∵

CM=DM MN=MN DN=CN

，
∴△DMN≌△CMN，
∴∠MNC=∠MND=90°，
∴MN垂直CD；

（2）∵AB=10，
∴DM=CM=5，
∵CD=8，MN垂直CD，N是CD的中点，
∴CN=4，
∴MN=

CM2-CN2

=

52-42

=3．

点评：此题主要考查了勾股定理和直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半等知识，利用已知得出MC=MD是解题关键．