题目内容

如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.

(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
(1)y=x2+x;(2)();(3)

试题分析:(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C即可根据待定系数法求得抛物线解析式;
(2)设点P的横坐标为t,由PN∥CD,可证得△OPN∽△OCD,根据相似三角形的性质可得PN=,则可得点P坐标为(t,),由点M在抛物线上可得M(t,t2+t),过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,则AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2t+2,BH=PN=,当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,即可得到关于t的方程,解出即可得到结果;
(3)如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R.求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′(a,﹣a+3),易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH,即可得到点Q的坐标,从而表示出A′Q的长,先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=,即可表示出KT、OK,过点R作RH⊥x轴于H,先表示出S关于a的函数关系式,再根据二次函数的性质即可求得结果.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C,
可得c=0,∴
解得a=,b=
∴抛物线解析式为y=x2+x.
(2)设点P的横坐标为t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得PN=
∴P(t,),∵点M在抛物线上,∴M(t,t2+t).
如解答图1,过M点作MG⊥AB于G,过P点作PH⊥AB于H,
AG=yA﹣yM=2﹣(t2+t)=t2t+2,BH=PN=
当AG=BH时,四边形ABPM为等腰梯形,
t2t+2=
化简得3t2﹣8t+4=0,解得t1=2(不合题意,舍去),t2=
∴点P的坐标为(
∴存在点P(),使得四边形ABPM为等腰梯形.
(3)如解答图2,△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′,A′B′交x轴于T,交OC于Q,A′O′交x轴于K,交OC于R.
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3,可设点A′的横坐标为a,则点A′(a,﹣a+3),

易知△OQT∽△OCD,可得QT=,OH=2RH
∴点Q的坐标为(a,).
A′Q=﹣a+3﹣=(3﹣a)
∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=(﹣a+3)•=a+
∴OK=OT﹣KT=a﹣(a+)=a﹣
过点R作RH⊥x轴于H,
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2,
∴RH=2KH,OH=4RH=2a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S四边形RKTQ=SA′KT﹣SA′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=•(3﹣a)﹣•(3﹣a)•(﹣a+2)
=a2+a﹣=(a﹣2+
由于<0,
∴在线段AC上存在点A′(),能使重叠部分面积S取到最大值,最大值为
点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
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