题目内容
(2002•河南)已知,如图,直线
(1)求以OA、OB两线段长为根的一元二方程;
(2)C是⊙M上一点,连接BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式;
(3)若延长BC到E,使DE=2,连接EA,试判断直线EA与⊙M的位置关系,并说明理由.

【答案】分析:(1)本题的关键是求出OA,OB的长,可根据过A,B两点的直线解析式来得出A,B两点的坐标,即可得出OA,OB的长.进而可根据韦达定理得出所求的一元二次方程.
(2)本题要先求出C点的坐标,已知∠COD=∠CBO,那么C是弧OA的中点,连接MC,可根据垂径定理求出C点的坐标.而后根据O,A,C三点的坐标即可得出抛物线的解析式.
(3)本题只需证EA⊥AB即可.在直角三角形OBD中,可求得∠BDO=60°,而AD=DE=2,由此可得出三角形ADE是等边三角形,因此∠DAE=60°,而∠BAO=30°,由此可得出∠BAE=90°,即可得证.
解答:解:(1)∵直线
与x轴、y轴分别交于A、B两点,
∴A(-3,0),B(0,
)
∴OA=3,OB=
.
以OA,OB两线段长为根的一元二次方程是:x2-(
+3)x+3
=0.
(2)∵∠COD=∠CBO,∠COD=∠CBA
∴∠CBA=∠CBO
∴弧AC=弧OC
∵∠AOB=90°
∴AB为⊙M的直径.
连接MC交OA于点G.
∴MC⊥OA.
∴OG=AG=
OA=
.
根据勾股定理得:MG=
=
,
∴MC=
AB=
=
=
∴CG=MC-MG=
-
=
.
∴C(-
,-
).
设经过O,C,A三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,依题意可得:
,
解得:
,
因此抛物线的解析式为y=
x2+
x.

(3)直线EA与⊙M相切,理由如下:
在直角三角形OAB中,
∵OB=
,OA=3;
∴tan∠OAB=
,
∴∠OAB=30°,
∴∠OBA=60°,
∵∠COD=∠CBO,∠OCD=∠BCO,
∴△OCD∽△BCO,
∴∠CDO=∠BOC,又∠CDO=∠ADB,
∴∠ADB=∠COB,又∠BAD=∠BCO,
∴△ADB∽△COB,
∴∠ABD=∠CBO=
∠ABO,
∴∠OBC=30°.
∴∠ADE=∠BDO=60°.
在直角三角形BOD中,OD=OB•tan30°=
×
=1.
∴AD=2,又DE=2
∴△ADE为等边三角形.
∴∠OAE=60°
∴∠BAE=30°+60°=90°
∴直线EA与⊙M相切.
点评:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,二次函数解析式的确定、垂径定理等知识点.考查学生综合应用知识、解决问题的能力.
(2)本题要先求出C点的坐标,已知∠COD=∠CBO,那么C是弧OA的中点,连接MC,可根据垂径定理求出C点的坐标.而后根据O,A,C三点的坐标即可得出抛物线的解析式.
(3)本题只需证EA⊥AB即可.在直角三角形OBD中,可求得∠BDO=60°,而AD=DE=2,由此可得出三角形ADE是等边三角形,因此∠DAE=60°,而∠BAO=30°,由此可得出∠BAE=90°,即可得证.
解答:解:(1)∵直线

∴A(-3,0),B(0,

∴OA=3,OB=

以OA,OB两线段长为根的一元二次方程是:x2-(


(2)∵∠COD=∠CBO,∠COD=∠CBA
∴∠CBA=∠CBO
∴弧AC=弧OC

∵∠AOB=90°
∴AB为⊙M的直径.
连接MC交OA于点G.
∴MC⊥OA.
∴OG=AG=


根据勾股定理得:MG=


∴MC=






∴CG=MC-MG=



∴C(-


设经过O,C,A三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,依题意可得:

解得:

因此抛物线的解析式为y=



(3)直线EA与⊙M相切,理由如下:
在直角三角形OAB中,
∵OB=

∴tan∠OAB=

∴∠OAB=30°,
∴∠OBA=60°,
∵∠COD=∠CBO,∠OCD=∠BCO,
∴△OCD∽△BCO,
∴∠CDO=∠BOC,又∠CDO=∠ADB,
∴∠ADB=∠COB,又∠BAD=∠BCO,
∴△ADB∽△COB,
∴∠ABD=∠CBO=

∴∠OBC=30°.
∴∠ADE=∠BDO=60°.
在直角三角形BOD中,OD=OB•tan30°=


∴AD=2,又DE=2
∴△ADE为等边三角形.
∴∠OAE=60°
∴∠BAE=30°+60°=90°
∴直线EA与⊙M相切.
点评:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,二次函数解析式的确定、垂径定理等知识点.考查学生综合应用知识、解决问题的能力.

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