题目内容
已知a,b为正整数,且a为素数(也称为质数),a2+b2是一个完全平方数,试用含a的代数式表示b=分析:根据a2+b2是一个完全平方数,令a2+b2=c2,利用平方差公式因式分解,然后分a=2或a为奇质数两种情况讨论求解.
解答:解:∵a2+b2是一个完全平方数,
令a2+b2=c2,
得a2=c2-b2=(c-b)(c+b),
因为a为质数,a,b为正整数,所以a=2或a为奇质数,且c+b>c-b,
若a=2,此时4=(c-b)(c+b),因b、c为正整数,c-b<c+b,
所以,
,从而
与b、c为正整数矛盾,
若a为奇质数,因b、c为正整数,c-b<c+b,
所以只有
从而b=
.
故答案为:
.
令a2+b2=c2,
得a2=c2-b2=(c-b)(c+b),
因为a为质数,a,b为正整数,所以a=2或a为奇质数,且c+b>c-b,
若a=2,此时4=(c-b)(c+b),因b、c为正整数,c-b<c+b,
所以,
|
|
若a为奇质数,因b、c为正整数,c-b<c+b,
所以只有
|
从而b=
a2-1 |
2 |
故答案为:
a2-1 |
2 |
点评:此题考查了完全平方数和质数与合数的定义,将原式变形,逐步进行逻辑推理,一步步接近问题的核心是解题的关键.
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