题目内容

平面直角坐标系中，正方形AOBC如图所示，点C的坐标为（a，a），其中a使得式子有意义，反比例函数的图象经过点C.

（1）求反比例函数解析式.
（2）若有一点D自A向O运动，当满足AD²=OD·AO时，求此时D点坐标.
（3）若点D在AO上、G为OB的延长线上的点，AD=BG，连接AB交DG于点H，写出AB－2HB与AD之间的数量关系（直接写出不需证明）.
（4）如图，点E为正方形AOBC的OB边一点，点F为BC上一点且∠CAE=∠FEA=60°，求直线EF的解析式.

（1）（2）（0，）（3）AB－2HB=AD（4）

解析

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如图1的平面直角坐标系中，等腰直角三角形A₀B₁A₁的斜边A₀A₁落在y轴的正半轴上，A₀A₁=2，点A₀与原点O重合．二次函数y=ax²的图象恰好经过B₁．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴的正半轴依次取点A₂，A₃，A₄，…，A_n，使得以A₁A₂，A₂A₃，A₃A₄，…，A_n-1A_n，为斜边的等腰直角三角形△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，△A₃B₄A₄，…，△A_n-1B_nA_n的顶点B₂，B₃，B₄，…，B_n分别落在二次函数y=ax²的图象上（如图2）．完成下列填空：A₁A₂=

；
（3）根据（2）观察分析得到的规律，试写出A_n-1A_n的长：A_n-1A_n=

（用n的代数式表示）．

在平面直角坐标系中，正△O₁A₁B₁，边长为1，O₁在坐标原点，取A₁B₁的中点作第二个正△O₂A₂B₂，取A₂B₂的中点作第三个正△O₃A₃B₃，…，所有的正三角形都关于y轴对称，如果所作的正三角形的边长依次增加1个单位长度，顶点A_n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A₂的坐标为

，A_n的坐标

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为

个单位长度．
（1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
（2）若k=-

，直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，求b的值．（图乙供选用）

在平面直角坐标系中，正△O₁A₁B₁，边长为1，O₁在坐标原点，取A₁B₁的中点作第二个正△O₂A₂B₂，取A₂B₂的中点作第三个正△O₃A₃B₃，…，所有的正三角形都关于y轴对称，如果所作的正三角形的边长依次增加1个单位长度，顶点A_n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A₂的坐标为________，A_n的坐标________．

在平面直角坐标系中，正△O₁A₁B₁，边长为1，O₁在坐标原点，取A₁B₁的中点作第二个正△O₂A₂B₂，取A₂B₂的中点作第三个正△O₃A₃B₃，…，所有的正三角形都关于y轴对称，如果所作的正三角形的边长依次增加1个单位长度，顶点A_n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A₂的坐标为，A_n的坐标．