Question

已知关于x的方程：x2-(m-2)x-

m2

4

=0
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根x₁、x₂满足x₂-x₁=2，求m的值及相应的x₁、x₂．

Answer 1

分析：（1）由于题目证明无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根，所以只要证明方程的判别式是非负数即可；
（2）首先利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂，x₁•x₂，然后把x₂-x₁=2的两边平方，接着利用完全平方公式变形就可以利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．

解答：（1）证明：∵△=[-(m-2)]2-4×(-

m2

4

)=2m²-4m+4=2（m-1）²+2，
∵无论m为什么实数时，总有2（m-1）²≥0，
∴2（m-1）²+2＞0，
∴△＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；

（2）解：∵x₂-x₁=2，
∴（x₂-x₁）²=4，而x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=-

m2

4

，
∴（m-2）²+m²=4，
∴m=0或m=2；
当m=0时，解得x₁=-2，x₂=0；
当m=2时，解得x₁=-1，x₂=1．

点评：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及判别式，首先证明判别式是非负数解决第一问，然后利用根与系数的关系和已知条件解决第二问．