Question

【题目】观察下列各式及其验证过程： 验证： = ；
验证： = = = ；
验证： = ；
验证： = = = ．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解： ．验证如下：

左边= = = = =右边，

故猜想正确

（2）解： ．证明如下：

左边= = = = =右边

【解析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a= （a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
【考点精析】利用算数平方根对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零．